겔폰트-슈나이더(Gelfond-Schneider) 정리

겔폰트-슈나이더(Gelfond-Schneider) 정리

• 정리 내용

  [ ]

  • algebraic number : 대수적 수
  • algebraic but irrational number : 대수적이지만 무리수
  • transcendent number : 초월수

• 적용:

  • : 2는 대수적 수입니다.
  • : 는 대수적 수이지만 무리수입니다.
  • 따라서, 는 겔폰트-슈나이더 정리에 따라 초월수입니다.

초월수로 증명된 관련 수

• 겔폰트 상수 ( ) : 초월수로 증명됨.
• : 초월수로 증명됨.
• 이와 같은 형태의 에서 와 가 대수적 수이면서 조건을 만족하면 초월수가 되는 경우가 많습니다.

---

SymPy를 이용한 초월수 표현

• 

python

from sympy import Pow, sqrt, symbols, log

# 심볼릭 표현
a = 2
b = sqrt(2)
expression = Pow(a, b)

# 결과 출력
print("심볼릭 표현:", expression)  # 2^√2

# 수치 근삿값
print("수치 근삿값:", expression.evalf())  # 약 2^√2 = 2.66514414269023

# 초월수 설명 (예시로 로그 활용)
# log(2^√2) = √2 * log(2), 이는 대수적이지 않음.
proof_step = b * log(a)
print("로그 기반 심볼릭 계산:", proof_step)  # √2 * log(2)

코드 설명

1. 심볼릭 표현:

   • 를 Pow(a, b)로 표현.
   • SymPy는 이를 심볼릭 연산으로 유지합니다.

2. 수치 근삿값 계산:

   • .evalf()를 사용하여 근삿값 출력.

3. 초월수 설명:

   • 는 로그 변환을 통해 로 나타낼 수 있으며, 이는 겔폰트-슈나이더 정리에 의해 초월수임을 나타냅니다.

추가 활용: 정밀도 높이기

python

# 정밀도를 높인 계산
print("고정밀 계산:", expression.evalf(50))  # 소수점 50자리

• Output

심볼릭 표현: 2**sqrt(2)
수치 근삿값: 2.66514414269023
로그 기반 심볼릭 계산: sqrt(2)*log(2)
고정밀 계산: 2.6651441426902251886502972498731398482742113137140645

view raw Gelfond-Schneider.ko.md hosted with ❤ by GitHub