그뢰츠쉬의 정리(Grotzsch's Theorem)

그뢰츠쉬의 정리(Grotzsch's Theorem)

• 그뢰츠쉬의 정리(Grotzsch's Theorem) 는 다음과 같이 서술됩니다:
  • 삼각형이 없는 모든 평면 그래프는 최대 3가지 색으로 정점 색칠이 가능하다.

주요 내용

• 1. 삼각형 없는 그래프:
  • 삼각형이 없는 그래프란, 그래프 내에 세 정점을 가지는 순환(3-cycle)이 존재하지 않는 그래프를 뜻합니다.
• 2. 3-색칠 가능성:
  • 이 정리는 삼각형이 없는 평면 그래프의 경우, 최소 3개의 색으로 모든 정점을 색칠하되 인접한 정점끼리는 같은 색을 사용할 필요가 없음을 보장합니다.
• 3. 색칠 문제와 관련성:
  • 이 정리는 평면 그래프의 4색 정리(모든 평면 그래프는 최대 4개의 색으로 정점 색칠 가능함)의 특수한 경우로 볼 수 있습니다.
  • 삼각형이 없는 경우, 추가 조건으로 인해 색깔 수를 하나 줄여도 색칠이 가능하다는 것을 증명합니다.

응용

• 지도 색칠 문제와 같은 실제 색칠 문제에서 특정 제약 조건(예: 삼각형 없음)을 추가로 분석하는 데 활용됩니다.
• 이론적인 그래프 이론 연구 및 알고리즘 설계에서 중요한 결과로 다루어집니다.

코드

python

def main():
    # 그래프 생성
    n = 6 
    G = nx.cycle_graph(n)  # n개의 노드로 이루어진 순환 그래프
    G.add_edge(0, 3)       # 삼각형을 생성하지 않는 추가 간선

    # TriangleFreeGraph 객체 생성
    graph_checker = TriangleFreeGraph(G)

    # 삼각형 없는지 확인
    if graph_checker.is_triangle_free():
        print("그래프는 삼각형이 없습니다.")
        
        # 3-색칠 실행
        try:
            coloring = graph_checker.three_color()
            print("색칠 결과:", coloring)
            
            # 시각화
            graph_checker.visualize(coloring)
        except ValueError as e:
            print("오류:", e)
    else:
        print("그래프는 삼각형이 있습니다. 3-색칠이 불가능합니다.")

if __name__ == "__main__":
    main()

• https://github.com/j2doll/grotzsch.theorem

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