4색 정리 (Four Color Theorem)

4색 정리 (Four Color Theorem)

• 4색 정리 (Four Color Theorem) 는 그래프 이론과 평면 기하학에서 중요한 이론 중 하나입니다.
• 모든 평면 그래프는 최대 4가지 색 으로 면(face) 을 색칠할 수 있다는 내용을 다룹니다.
• 이 정리는 지도 색칠 문제와 같은 실제 문제에 직접적으로 응용되며, 수학적으로도 흥미로운 역사를 가지고 있습니다.

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1. 정리의 내용

• 정의
  • 어떤 평면 그래프 가 주어졌을 때, 그 그래프의 면을 색칠하는 데 필요한 색의 수는 4를 넘지 않습니다.
• 조건:
  • 두 면이 인접한다는 것은 두 면이 동일한 간선을 공유함을 의미합니다.
  • 인접한 면은 같은 색으로 색칠할 수 없습니다.

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2. 역사

• 1852년: 프랜시스 거스리(Francis Guthrie)가 지도 색칠 문제를 연구하며 처음 제기.
• 1879년: 앨프레드 켐프(Alfred Kempe)가 증명했다고 발표했지만, 11년 후 오류가 발견됨.
• 1890년: 퍼시 히우드(Percy Heawood)가 켐프의 증명 오류를 발견하고, 5색 정리를 증명.
• 1976년: 케네스 애펄(Kenneth Appel)과 볼프강 하켄(Wolfgang Haken)이 컴퓨터를 사용하여 처음으로 4색 정리를 완전하게 증명.

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3. 증명의 특징

• 4색 정리의 증명은 컴퓨터를 이용한 최초의 수학 정리 증명으로 알려져 있습니다.

  • 컴퓨터로 평면 그래프의 가능한 모든 경우를 검사하여 참임을 보임.
  • 약 1,936개의 주요 경우를 나눠 각각 검증.

• 증명 이후, 수학계에서는 컴퓨터 기반 증명의 신뢰성과 효율성에 대한 논쟁이 이어졌습니다.

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4. 응용

• 지도 색칠 문제: 국가나 구역을 색칠할 때, 4가지 색으로 서로 다른 구역이 인접한 경우를 구분할 수 있습니다.
• 네트워크 설계: 주파수 간섭을 방지하는 주파수 할당 문제에 활용.
• 자원 분배: 겹치지 않도록 자원을 분배하는 문제에 응용.

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5. 한계

• 4색 정리는 평면 그래프에만 적용됩니다.
• 일반 그래프(비평면 그래프)의 경우에는 색칠수 가 더 높을 수 있습니다.

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6. 수학적 모델링

4색 정리를 이용한 평면 그래프 색칠은 다음과 같이 표현됩니다:

1. 그래프 의 모든 면 에 대해, 를 색 로 할당.
2. 와 가 인접하면 를 만족.

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7. 이론적 관점

이론적으로 모든 평면 그래프를 다루려면 정점 수 의 제한이 없을 수 있습니다. 하지만 평면 그래프에는 몇 가지 제약 조건이 있습니다:

1. 평면 그래프의 간선 제한:

   • 평면 그래프에서는 간선 의 수가 (단, 을 만족합니다.
   • 정점이 많아질수록 그래프의 복잡성이 늘어나지만, 이 제한 때문에 간선의 배치가 제약됩니다.

2. 축소 가능성:

   • 평면 그래프는 축소(reduction)를 통해 특정 크기 이하의 그래프로 변환 가능합니다.
   • 4색 정리는 이러한 축소 과정을 통해 복잡한 그래프를 더 작은 "기본 그래프"로 분해하여 증명할 수 있습니다.

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8. 컴퓨터 증명에서의 실질적 한계

• 1976년의 증명에서 사용된 그래프 수는 1,936개 의 기본 그래프였으며, 각 그래프의 크기는 일반적으로 작습니다.
• 따라서, 증명 과정에서 정점 수 이 엄청나게 큰 값으로 가지 않습니다.

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9. 실제로 필요한 정점 수 (n)

컴퓨터로 증명한 경우에서:

• 최대 정점 수는 약 정도로 알려져 있습니다.
• 이는 평면 그래프의 축소 가능성을 기반으로 한 증명 방식 때문입니다.

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10. 무작위 생성 방식에서 (n)의 한계

• 만약 단순히 그래프를 생성하고 검사하는 방식으로 4색 정리를 확인하려 한다면:
  • 의 상한은 이론적으로 정해져 있지 않습니다.
  • 하지만, 현실적으로 컴퓨터가 처리할 수 있는 계산량(메모리와 속도)의 제한이 있습니다.

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11. 예제 코드

• https://github.com/j2doll/four-color-theorem

python

if __name__ == "__main__":
    n = 3  # 시작 정점 수
    while True:
        print(f"=== {n}개의 정점을 가진 그래프 ===")
        planar_graphs = generate_planar_graphs(n)
        print(f"생성된 평면 그래프 수: {len(planar_graphs)}")

        all_colorable = True
        results = []

        with ThreadPoolExecutor(max_workers=n) as executor:
            futures = [executor.submit(process_graph, graph, i) for i, graph in enumerate(planar_graphs)]
            for future in futures:
                result = future.result()
                print(result)
                if "불가능" in result:
                    all_colorable = False

        if all_colorable:
            print(f"모든 {n}개의 정점을 가진 평면 그래프는 4색으로 색칠 가능합니다.")

        n += 1  # 정점 수 증가

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