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컷팅 플레인 (Cutting Plane)

  • 컷팅 플레인 (Cutting Plane) 방법은 혼합 정수 계획법 (Mixed Integer Programming, MIP) 에서 최적해를 찾기 위해 사용되는 대표적인 기법 중 하나입니다.

  • 주로 다음과 같은 특징을 가집니다.


1. 기본 개념

  • 정수 프로그램 문제에서 단순히 선형 계획법 (Linear Programming, LP)으로는 정수 제약을 만족하는 최적해를 찾기 어렵기 때문에 사용됩니다.
  • 단순한 LP 해가 실수 영역에 놓일 때, 이를 정수로 제한하기 위해 추가적인 제약식을 도입하여 해를 점진적으로 개선하는 방법입니다.


2. 절차

  • (1) 초기 LP 문제 해결
    • 정수 제약을 무시하고 연속 변수로 설정한 LP 문제를 먼저 해결합니다.
  • (2) 컷 생성
    • 최적해가 정수 제약을 만족하지 않으면, 이를 배제하기 위한 컷 (Cut) 을 추가합니다.
  • (3) 문제 재해결
    • 새로운 컷이 포함된 수정된 문제를 다시 해결합니다.
  • (4) 반복
    • 정수 해가 나올 때까지 컷 생성을 반복합니다.
  • (5) 정수 해 도달
    • 최적의 정수 해가 도출되면 알고리즘을 종료합니다.


3. 대표적인 컷 종류

  • Gomory Cut
    • 가장 기본적인 컷 중 하나로, 단순한 분수 형태의 해를 정수화하기 위한 방식입니다.
  • Chvátal-Gomory Cut
    • 모든 정수 계획 문제에 적용할 수 있는 일반적인 컷입니다.
  • Lift-and-Project Cut
    • 더 강력한 형태의 컷으로, 보다 날카로운 절단면을 제공합니다.
  • Mixed Integer Rounding(MIR) Cut
    • 혼합 정수 문제에 특화된 컷입니다.


4. 장점과 단점

  • 장점
    • 단순하면서도 효율적으로 정수 해를 찾는 데 유용합니다.
    • 다양한 문제에 적용 가능하고, 구현이 비교적 간단합니다.
  • 단점
    • 잘못된 컷 추가 시 수렴 속도가 매우 느려질 수 있습니다.
    • 특정 문제에서는 비효율적이거나 불안정한 결과를 초래할 수 있습니다.


5. 실제 적용 사례

  • 생산 계획 최적화
  • 물류 경로 최적화
  • 네트워크 설계
  • 자원 할당 문제



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